Derivadas - Primera Entrega: Potencias, exponenciales y logaritmos

Antes de empezar a calcular derivadas hay que dominar algunas propiedades, en esta primera entrega de derivadas hay que conocer las siguientes:

1.-  La derivada de una constante es 0.

$f(x)=K$   --->    $f'(x)=0$

2.-  La derivada de una constante $K$ multiplicando a una función $fx)$ es dicha constante multiplicando a la derivada de la función:

$(Kf(x))'=Kf'(x)$

dicho de otro modo, "la constantes salen de las derivadas".




3.-  La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de las funciones:

$(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$

Cuando una operación matemática cumple las propiedades que aquí hemos llamado 2.- y 3.-  se dice que es una operación lineal:

$(K_1f(x)+K_2g(x))'=K_1f'(x)+K_2g'(x)$.

4.-  La derivada de un producto de funciones es de tal forma:

$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

5.-  La derivada de un cociente de funciones es:

$(\dfrac{f(x)}{g(x)})'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

6.-  La derivada de la composición de funciones, es decir, la función de una función:

$(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)$

$(f(g(h(x))))'=f'(g(h(x)))g'(h(x))h'(x)$

Y así en todos los casos, lo que indica esta regla, conocida como regla de la cadena, es que vamos a ir derivando la función en el sentido de lectura dejando los argumentos sin tocar en los sucesivos escalones de derivación, por ejemplo, si nos encontramos con un $ln(cos(x^2))$, primero derivamos el logaritmo como si todo lo de dentro fuera un paquete inalterable, eso lo multiplicaremos por la derivada del coseno dejando sin tocar su argumento y por último derivaremos el argumento del coseno.  Siguiendo esta regla nos aseguraremos de que estamos calculando bien la derivada de esa función.  

No hay que agobiarse con esta regla ya que, al final, el cálculo progresivo de derivadas de creciente complicación técnica hará que apliquemos la regla de la cadena de forma instintiva.  Así que... a calcular como locos.

Funciones potenciales:

Una función potencial será de la forma  $f(x)=g(x)^n$, siendo $n$ un número real.  La derivada de este tipo de funciones es:

$(g(x)^n)'=ng(x)^{(n-1)}\cdot g'(x)$

Intenta las siguientes derivadas:

1.-  $f(x)=5$
2.-  $f(x)=x$
3.-  $f(x)=5x^2$
4.-  $f(x)=(5x^2-5)^3$
5.-  $f(x)=\sqrt[4]{5x^2-5}$

Tienes que llegar a  $f'(x)=$:

1.-  $0$
2.-  $1$
3.- $10x$
4.-  $30x(5x^2-5)^2$
5.-  $\dfrac{10x}{4\sqrt[4]{(5x^2-5)^3}}$


Funciones exponenciales:

Las funciones exponenciales son de la siguiente forma:

$f(x)=e^{g(x)}$.

La derivada de estas funciones es:

$f'(x)=g'(x)e^{g(x)}$

Intenta hacer las siguientes derivadas:

1.-  $f(x)=e^3$
2.-  $f(x)=e^x$
3.-  $f(x)=e^{x^2}$
4.-  $f(x)=e^{(5x^2-3)^3}$
5.-  $f(x)=4e^{\sqrt[4]{5x^2-5}}$

Y tienes que llegar a $f'(x)=$

1.-  $0$
2.-  $e^x$
3.-  $2xe^{x^2}$
4.-  $30x(5x^2-3)^2e^{(5x^2-3)^3}$
5.-  $\dfrac{10x}{\sqrt[4]{(5x^2-5)^3}}e^{\sqrt[4]{5x^2-5}}$

Podremos encontrarnos exponenciales de base distinta del número $e$. En ese caso la regla de derivación se convierte en:

$f(x)=a^{g(x)}$ ----->    $f'(x)=g'(x)\cdot a^{g(x)}\cdot ln(a)$

Repite las derivadas anteriores con estos casos:

1.-  $f(x)=3^3$
2.-  $f(x)=7^x$
3.-  $f(x)=91^{x^2}$
4.-  $f(x)=2^{(5x^2-3)^3}$
5.-  $f(x)=4\cdot 8^{\sqrt[4]{5x^2-5}}$

Funciones logarítmicas:

Si nos enfrentamos a una función del tipo  $f(x)=ln(g(x))$, su derivada será:

$f'(x)=\dfrac{g'(x)}{g(x)}$

Prueba a hacer estas derivadas:

1.-  $ln(x)$
2.-  $ln(x^2+3x)$
3.-  $ln(3x^4-2x^3)$
4.-  $ln(7e^x)$
5.-  $ln(x^3e^{3x^4})$

Tienes que llegar a:

1.-  $\dfrac{1}{x}$
2.-  $\dfrac{2x+3}{x^2+3x}$
3.-  $\dfrac{12x^3-6x^2}{3x^4-2x^3}$
4.-  $x$
5.-  $\dfrac{3}{x}+12x^3$

A veces, cuando estamos calculando derivadas de logartimos es mejor parar un segundo a mirar al función de la que queremos calcular la derivada y ver si podemos aplicar alguna de las propiedades de los logaritmos para simplificar la función de partida y el cálculo de la derivada.  Aquí tienes una breve lista de las principales propiedades de los logaritmos que te pueden ser útiles para las anteriores derivadas:

1.- $ln(AB)=ln(A)+ln(B)$
2.- $ln(\dfrac{A}{B})=ln(A)-ln(B)$
3.- $ln(A^B)=Bln(A)$
4.- $ln(e)=1$
5.- $ln(e^A)=A$.

Sigan derivando...