El método de resolución de punto fijo: Casos

Vamos a estudiar un caso de la resolución de un problema de punto fijo por iteración.  Tenemos que ser conscientes de que vamos a aplicar el método a las bravas, pero es ilustrativo, posteriormente tendremos que dar condiciones para que el problema se deje resolver de un modo agradable. 

Repito, esta parte solo es ilustrativa, en ella vamos a ver un punto delicado que tenemos que tener en la cabeza pero que a efectos prácticos -- en los exámenes, por ejemplo -- no tenéis que preocuparos.

Método iterativo del punto fijo

Empezamos con el intento de resolver el problema $g(x)=x$

1.-  Partimos del punto $x_0$.

2.-  El punto $x_1$ lo definiremos como $g(x_0)=x_1$.

3.-  El punto $x_2$ lo definiremos como $g(x_1)=x_2$.

4.-  Continuamos con el proceso...

Ejemplo:

Este ejemplo es de mucho interés ya que en él veremos los casos posibles con los que nos podemos encontrar en un proceso de cálculo de punto fijo.

Para empezar nos planteamos el problema de encontrar los ceros de la siguiente función:

$f(x)=x^2-2x-3$,

no es difícil encontrar por métodos convencionales que hay dos soluciones, $x=3$ y $x=-1$.

Ahora vamos a intentar convertir este problema en uno del tipo de punto fijo. 

Partimos de  $x^2-2x-3=0$

1.- Primera opción:   

Escribimos    $x^2=2x+3$

Tomamos la raíz cuadrada    $x=\sqrt{2x+3}$

Ya tenemos un problema de punto fijo.

2.-  Segunda opción:

Escribimos   $x(x-2)-3=0$ 

Reordenamos:   $x(x-2)=3$

Despejamos x:  $x=\dfrac{3}{x-2}$

Ya tenemos otro problema de punto fijo.

3.-  Tercera opción:

Podemos quedarnos con el término $2x$:  $2x=3-x^2$ 

Despejando obtenemos:  $x=\dfrac{x^2-3}{2}$

Y... oh sorpresa, otro problema de punto fijo.

Procedamos a implementar las iteraciones del método del punto fijo para cada caso:

1.-  Primer caso:

a)  Tomamos como punto de partida $x_0=4$.

b)  Realizamos un puñado de iteraciones:

$x_0=4$
$x_1=g(x_0)=\sqrt{2(4)+3}=3.31662$
$x_2=g(x_1)=\sqrt{2(3.31662)+3}=3.10375$
$x_3=g(x_2)=\sqrt{2(3.10375)+3}=3.03439$
$x_4=g(x_3)=\sqrt{2(3.03439)+3}=3.01144$
$x_5=g(x_4)=\sqrt{2(3.01144)+3}=3.00381$

Tiene toda la pinta de que si seguimos el proceso converge al valor $x=3$, que es un punto fijo de $g(x)$ y además es una de las soluciones de $f(x)$.

2.-  Segundo caso:

a)  Tomamos como punto de partida $x_0=4$.
b)  Realizamos otro puñado de iteraciones con el segundo caso:

$x_0=4$
$x_1=g(x_0)=\dfrac{3}{4-2}=1.5$
$x_2=g(x_1)=\dfrac{3}{1.5-2}=-6$
$x_3=g(x_2)=\dfrac{3}{-6-2}=-0.375$
$x_4=g(x_3)=\dfrac{3}{-0.375-2}=-1.263158$
$x_5=g(x_4)=\dfrac{3}{-1.263158-2}=-0.919355$
$x_6=g(x_5)=\dfrac{3}{-0.919355-2}=-1.02762$
$x_7=g(x_6)=\dfrac{3}{-1.02762-2}=-0.990877$
$x_8=g(x_7)=\dfrac{3}{-0.990877-2}=-1.00305$

Y esto huele mucho a que al final vamos a converger a $x=-1$ el otro cero de la función $f(x)$.


3.-  Tercer caso:

Pues volvamos a repetir la jugada volviendo a empezar en $x_0=4$ con la $g(x)$ del tercer caso:

$x_0=4$
$x_1=g(x_0)=\dfrac{4^2-3}{2}=6.5$
$x_2=g(x_1)=\dfrac{(6.5)^2-3}{2}=19.625$
$x_3=g(x_2)=\dfrac{(19.625)^2-3}{2}=191.070$

No hace falta seguir, esto parece que se va al garete, en cada iteración la cosa se hace más y más grande, decimos en este caso que el método diverge.

¿Cómo tenemos diferentes comportamientos en los tres casos si proceden al fin y al cabo de la misma función $f(x)$?

Sí, queridos alumnos, el proceso iterativo de punto fijo depende de cómo elijamos la función $g(x)$ y de algunas de sus propiedades.  Una buena elección de $g(x)$ nos podrá asegurar que vamos a encontrar el punto fijo y que lo haremos rápido -- el orden de convergencia es alto --.

Me gustaría que tuvierais esto en la cabeza aunque los problemas con los que nos vamos a encontrar no presentarán estas problemáticas.

Ale, a seguir estudiando...