Newton también interpola

Vamos con el segundo método, y último que vamos a estudiar en este curso, de interpolación.  Este método es debido al inefable y prolífico Newton, un campeón de la ciencia.

Pues nada, procedamos...

Interpolando con Lagrange

Vamos a introducir el primer método de interpolación, la interpolación de Lagrange.

¿Qué tenemos que saber del método?

1.-  Tenemos que saber cómo funciona el método y cómo calcula el polinomio interpolador para un conjunto dado de puntos.
2.-  Tenemos que conocer las características esenciales del método.  Esto será muy útil para elegir este método u otro dependiendo del problema que nos propongan.

Así que sin más dilación nos pondremos manos a la obra.

Interpolación

En muchos casos que se presentan en la vida diaria se nos presentan datos en forma de tabla.  Estos datos han sido obtenidos en experimentos o muestreos.

De la tabla podemos leer puntos de la forma $(x_i, y_i)$, siendo el punto $(x_0,y_0)=(0.2,0.32)$, o el punto $(x_2,y_2)=(0.4,0.34)$.

Una representación gráfica de estos puntos será:

Lo que sabemos es que los datos correspondientes a la columna de las $x$ determinan los valores de la columna de las $y$.  Sin embargo, no conocemos que función da cuenta de esos datos, es decir, no conocemos la forma $f(x)$ de forma que para los valores de $x$ de la tabla obtengamos los valores de la columna de las $y$.

El objeto de estudio de este tema se centrará en encontrar una función $f(x)$ que acomode estos datos.  Si la encontramos podremos estimar el valor $y$ de cualquier $x$ que esté entre los datos de la tabla.  En el caso que hemos presentado podríamos estimar el valor de  la $y$ que correspondiera a un valor de $x=0.337$, por poner un ejemplo.

Esto que nos ocupa se denomina interpolación que es un campo rico y variado de la matemática cuya utilidad es evidente.  Nosotros estudiaremos como construir una función polinómica que acomode los datos de una tabla dada.

Antes de entrar en harina tenemos que enfrentarnos al primer teorema de esta temática.

Polinomio Interpolador. El Teorema

Teorema:

Dados $n+1$ puntos, $(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)$, con $x_i\neq x_j$ si $i\neq j$; existe un único polinomio interpolante $P_k(x)$ de grado $k\leq n$, tal que $P_k(x_i)=y_i$  $\forall i=0,\dots,n$. 

Masticando el teorema:

1.-  Disponemos de un conjunto de $n+1$ puntos:

$(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)$

Suponemos que estos puntos satisfacen la regla impuesta por una función $f(x)$ que es desconocida.

2.-  Lo que hacemos es suponer que dicha función es un polinomio $f(x)=P_k(x)$, es decir, una función de la forma:

$P_k(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^k$,

donde las $a_i$ son coeficientes numéricos reales y los exponentes $k$ son números naturales. Algunos de estos coeficientes o exponentes pueden ser nulos.

De forma que se tiene que cumplir:

$P_k(x_i)=y_i$ para todos los valores de $x_i$ de la tabla.

Es bueno trabajar con polinomios por varias razones, son funciones continuas, son derivables, y tienen todas las propiedades molonas que nos gustan de las funciones. Además, sus derivadas e integrales se calculan con relativa facilidad.

3.-  El orden del polinomio $k$ nunca será superior $n$.  Eso quiere decir que si tenemos $4$ puntos el polinomio interpolador será a lo sumo de grado 3.  Pero puede ocurrir que estos puntos estén sobre una recta o una parábola y entonces el polinomio será de grado menor que 3.

4.-  Es muy importante remarcar que el teorema establece que el polinomio interpolador es único. Esto implica que podremos diseñar distintos métodos para calcularlo pero que siempre obtendremos el mismo resultado para un conjunto dado de puntos.  El uso de uno u otro método dependerá de las condiciones del problema como iremos viendo a lo largo del tema.

Nota:  Los puntos no tienen porque estar equiespaciados ni ordenados de ningún modo especial para que los métodos de cálculo del polinomio interpolador funcionen.

Buscando raíces peligrosamente

Enunciado:

Busque las raíces de $f(x)=\cos(x)$ en el intervalo $[0,\pi]$

Comente los pasos que seguiría y comente los resultados que vaya obteniendo en cada paso.

Si no tienes claro qué se te pregunta anteriormente ve respondiendo estas preguntas:

a)  ¿Se cumple el teorema de Bolzano?
b)  ¿Podemos decir que la raíz es única?
c)  ¿Qué problemas encuentras en este problema?

Nota:  $\cos(x)$ tiene una raíz en el intervalo de trabajo que se encuentra en $x=\dfrac{\pi}{2}$.

¿Para qué sirve? - Resolución de ecuaciones no lineales

La matemática sirve básicamente para todo, así que busca el ejemplo que más te guste, seguro que puedes encontrar alguno.

Pero bueno, comprendo que sea una pregunta pertinente porque uno se puede perder en cuentas, errores, métodos, palabrejas, etc, y siempre está bien saber que eso que uno está estudiando tiene aplicaciones en lo que uno espera que sea su trabajo futuro.

Al final de cada tema procuraré escribir una entrada como esta explicando dónde podéis encontrar aplicaciones de los conceptos explicados en la teoría y trabajados en los problemas y la práctica.  Por supuesto no seré exhaustivo, ni las entradas estas tendrán más valor que el de motivar y el de proporcionaros campos en los que se usan claramente las técnicas matemáticas que estamos estudiando.

Robótica, movimiento, dibujos animados

Los métodos de aproximación de soluciones se utilizan extensamente en la programación y simulación del movimiento de robots industriales.

Que un robot de estos tenga que hacer un determinado movimiento exige que se tenga que resolver un problema de encontrar ceros o un punto fijo en una función.  

Es evidente que las técnicas descritas en el tema que nos ha ocupado son esenciales para asegurar que el robot cumple con la tarea para la que ha sido diseñado.

Los campos en los que estos métodos aproximados se usan con generosidad son muy variados. Basta decir que hay campos como la animación en videojuegos o en películas en los que es esencial que el programador conozca este tipo de técnicas y sus generalizaciones. 

Reconstrucción de imágenes

Sin duda alguna las técnicas de diagnóstico por imagen aplicando diversas técnicas como la resonancia magnética nuclear, la tomografía por emisión de positrones, etc, están teniendo cada vez mayor importancia en los diagnósticos médicos.

El problema al que se enfrenta el programador que se encarga del software de estas técnicas es el de reconstruir imágenes a partir de datos obtenido por el hardware -- la máquina -- empleado.

En este tema el uso de métodos de punto fijo, newton, bisección y otros más compejos es vital para asegurar que los resultados son significativos y utilizables en la práctica médica.

Estos son solo dos ejemplos, que me han parecido relevantes y motivadores, en los que un programador informático tiene que recurrir a métodos de aproximación en su trabajo.  Los ejemplos son innumerables y cubren una amplia gama de problemas que se presentan en la vida real. 

No desestimen la utilidad de las matemáticas. Sigan estudiando...

Newton calculando la raíz cuadrada de tres

Vamos a aproximar la raíz cuadrada de tres por el método de Newton.

Solución:

Tenemos que calcular los ceros de la función $f(x)=x^2-3$.

Introducimos el intervalo de trabajo, $[1,2]$ ya que sabemos que la raíz cuadrada de 3 se tiene que encontrar entre esos dos valores.

Primero, comprobamos que se cumple el teorema de Bolzano:

$f(1)=-2<0$
$f(2)=1>0$

El error de Newton

Como somos muy aplicados y estamos trabajando con un método de encontrar raíces de funciones empleando un método aproximado, el método de Newton, tenemos que dar expresiones que controlen el error que estamos cometiendo en cada paso de iteración del algoritmo.

Este tema es esencial para cualquier estudio que involucre aproximaciones, uno no sabe si la aproximación es buena o mala hasta que no se da el error cometido.  Pero los errores no se pueden dar de forma "exacta", lo único que podemos asegurar es que el error cometido no es mayor que una determinada cantidad que podemos calcular siguiendo el procedimiento del método.

En nuestro caso, para la iteración $n$-ésima se cumple que el error cometido $\epsilon_n$ es de la siguiente forma:

$\epsilon_n<\dfrac{|f(x)|}{\displaystyle\min_{x\in[a,b]}f'(x)}$

En esta formula lo que tenemos que tener en cuenta es lo siguiente:

1.-  Nuestra función verifica la regla de Fourier, por lo tanto la primera derivada no se anula en ningún punto del intervalo $[a,b]$ en el que estamos estudiando la función.  

2.- Así pues, la derivada será positiva o negativa en todo el intervalo.  Eso implica que su valor mínimo lo tomará en uno de los dos extremos del intervalo.

Ale, a seguir estudiando...