Newton, ¿dónde empiezo?

Como hemos visto el método de Newton para aproximación de raíces de una función $f(x)$ es un método iterativo basado en la siguiente regla:

$x_n=x_{n-1}-\dfrac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}$

Sin embargo este método se merece algunos comentarios.  Nos ocuparemos de esto en lo que sigue Pasen y vean.

Newton, qué convergente eres

Lo primero que tenemos que tener en la cabeza es lo siguiente:

EL MÉTODO DE NEWTON CONVERGE SIEMPRE SI HEMOS TENIDO LA DELICADEZA DE TOMAR COMO PUNTO INICIAL DEL PROCESO UNO QUE ESTÉ CERCA DE LA RAÍZ Y LEJOS DE LOS PUNTOS CRÍTICOS DE LA FUNCIÓN.

Voy a repetir:

EL MÉTODO DE NEWTON CONVERGE SIEMPRE SI HEMOS TENIDO LA DELICADEZA DE TOMAR COMO PUNTO INICIAL DEL PROCESO UNO QUE ESTÉ CERCA DE LA RAÍZ Y LEJOS DE LOS PUNTOS CRÍTICOS DE LA FUNCIÓN.

Recordemos que los puntos críticos de una función $f(x)$ están en aquellos valores $x$ tales que anulan la primera derivada $f'(x)$.  Los puntos críticos pueden ser máximos, mínimos o puntos de inflexión -- en estos últimos también se anula la segunda derivada $f''(x)$ --.

Poniéndonos en situación

Generalmente la situación a la que nos vamos a enfrentar será la siguiente:

a)  Nos darán una función $f(x)$.

b)  Nos darán un intervalo $[a,b]$ en el que estudiar si existe raíz y es única.

c)  Tendremos que elegir en qué punto de dicho intervalo tenemos que empezar el proceso iterativo para dar una aproximación aceptable a la raíz de la función en el intervalo de trabajo.

d)  Nos darán un criterio de parada o directamente nos pedirán un número de iteraciones a realizar.

El punto c)  se resuelve como ya hemos visto con anterioridad, tenemos que aplicar Bolzano en los extremos del intervalo y comprobar que $f(a)f(b)<0$.  En caso de que se cumpla sabemos que pueden haber raíces dentro de $[a,b]$.  Luego estudiamos como se comporta la derivada de la función, la $f'(x)$ en los puntos interiores del intervalo, si sucede que $f'(x)\neq \forall x\in[a,b]$ sabemos que tenemos una única raíz.  Si por el contrario la derivada se anula en algún punto interior del intervalo puede que la raíz sea única o no. Entonces hay que seguir estudiando el caso tal y como se hace en el segundo ejercicio de Dos ejemplos de unicidad de la raíz de una función en un intervalo.

Supongamos que llegamos a la siguiente conclusión:

a)  La función $f(x)$ que es continua en $[a,b]$ verifica el teorema de Bolzano en los extremos del mismo.

b)  La derivada de la función, $f'(x)$, no se anula en ningún punto interior del intervalo.

Ahora nos queda un tercer punto para eliminar todos los puntos críticos de una tacada:

c)  Tenemos que calcular la segunda derivada de la función, $f''(x)$, y comprobar que no se anula en ningún punto interior del intervalo.

Si se cumple:

a)  $f(x)$ continua en $[a,b]$, tal que $f(a)f(b)<0$

b)  $f'(x)\neq 0 \forall x \in [a,b]$

c)  $f''(x) \neq 0 \forall x \in [a,b]$

Podemos solo existe una raíz en dicho intervalo.

Ahora nos queda una cuestión vital, ¿qué $x_0$ elegir para empezar el método?  Y eso nos lo responde el señor Fourier, con el que nos veremos las caras de nuevo más adelante.

Fourier elige tú que a mí me da la risa

Para decidir qué $x_0$ elegir para empezar las iteraciones de Newton seguiremos lo que se conoce como regla de Fourier.

Regla de Fourier

Sea $f(x)$ una función continua y dos veces diferenciable en $[a,b]$.  Si $f(a)f(b)<0$ y sus dos primeras derivadas $f'(x)$ y $f''(x)$ no se anulan en $[a,b]$, existe una única raíz de la función $f(x)$ en dicho intervalo y se puede garantizar la convergencia del método de Newton tomando como valor inicial $x_0$ el extremo del intervalo en el que la función y su segunda derivada tienen el mismo signo, $f(E)f''(E)>0$, donde $E=a,b$.

Así, para elegir el punto inicial primero tenemos que asegurarnos que en nuestro intervalo de trabajo solo tenemos una raíz.  Luego calculamos el producto del valor de la función y su segunda derivada tanto en $x=a$ como en $x=b$ 

$f(a)f''(a)$

$f(b)f''(b)$

y elegimos como $x_0$ aquel extremos del intervalo en el que ese producto sea positivo.

Chim-pum.

Ale, a seguir estudiando...