Enunciado:
Busque las raíces de $f(x)=\cos(x)$ en el intervalo $[0,\pi]$
Comente los pasos que seguiría y comente los resultados que vaya obteniendo en cada paso.
Si no tienes claro qué se te pregunta anteriormente ve respondiendo estas preguntas:
a) ¿Se cumple el teorema de Bolzano?
b) ¿Podemos decir que la raíz es única?
c) ¿Qué problemas encuentras en este problema?
Nota: $\cos(x)$ tiene una raíz en el intervalo de trabajo que se encuentra en $x=\dfrac{\pi}{2}$.
Tenemos f(x)=cos(x) en el intervalo [0,π].
ResponderEliminarAplicamos el teorema de bolzano para ver si existen raíces.
f(0) = cos(0) = 1
f(π) = cos(π) = -1 } f(π) · f(0) < 0. Se cumple el Teorema de Bolzano, por lo tanto existen raíces.
Buscamos la derivada de la función
f '(x) = - sen (x).
Buscamos cuando la derivada se hace cero.
- sen(x) = 0; sen(x) = 0; x1= 0 + kπ
x2= π + kπ
Como podemos ver los intervalos son los mismos que en la función original [0,π].
Así que tenemos f(x) en [0,π], con sólo una raíz en [0,π], f(π) · f(0) <0.
Aplicamos el método de la bisección y decimos que:
x ~= (m1+m2)/2
x~= π/2
Si aplicamos el teorema de bolzano en los intervalos [0,π/2] y [π/2,π]:
[0,π/2] --> f(0)·f(π/2) =0
[π/2,π]---> f(π)·f(π/2) =0
Existe una sola raíz que es π/2
No sé que ha pasado y porque se ve así, no lo escribí así.
ResponderEliminar¿Te importa que te lo mande al correo electrónico?
Lo que ha pasado es que el editor matemático es un poco tiquismiquis, la cosa va mejor si pones las expresiones matemáticas entre símbolos de dolar.
ResponderEliminarSin símbolos de dolar se ve así: cos(0)
Con símbolos de dolar se ve así: $cos(0)$
Pondré una entrada con notaciones elementales para escribir símbolos matemáticos aquí. Lo que usa este sistema es latex, para decirle que estás escribiendo fórmulas matemáticas hay que poner símbolos de dolar abriendo y cerrando la expresión.
EliminarLos símbolos matemáticos más utilizados están en la siguiente página:
http://web.ift.uib.no/Teori/KURS/WRK/TeX/symALL.html
Por ejemplo, si quieres escribir pi, tienes que poner:
\pi entre símbolos de dolar.
$\pi$
Gracias, ya lo he arreglado.
EliminarTenemos $f(x)$=$cos(x)$ en el intervalo $[0,π]$.
ResponderEliminarAplicamos el teorema de Bolzano para ver si existen raíces.
$f(0)$=$cos(0)$=$1$
$f(π)$=$cos(π)$=$-1$ } $f(π)$·$f(0)$\leq$0$. Se cumple el Teorema de Bolzano, por lo tanto existen raíces.
Buscamos la derivada de la función
$f '(x)$=$-sen (x)$.
Buscamos cuando la derivada se hace cero.
$-sen(x)$=$0$; $sen(x)$=$0$; $x1$=$0$
$x2$=$π$
Como podemos ver los intervalos son los mismos que en la función original $[0,π]$.
Así que tenemos $f(x)$ en $[0,π]$, con sólo una raíz en $[0,π]$, $f(π)$·$f(0)$ $\leq$ $0$.
Aplicamos el método de la bisección y decimos que:
$x$ $\simeq$ $(m1+m2)$/$2$
$x$ $\simeq$ $π/2$
Si aplicamos el teorema de Bolzano en los intervalos $[0,π/2]$ y $[π/2,π]$:
$[0,π/2]$ -->$ f(0)$·$f(π/2)$=$0$
$[π/2,π]$---> $f(π)$·$f(π/2)$=$0$
Existe una sola raíz que es $π/2$