Teorema de Bolzano, la idea
Supongamos que tenemos una función $f(x)$ de la que sabemos que es continua en un intervalo $[a,b]$. Desgraciadamente no tenemos ni idea de la forma exacta de la función, pero sí sabemos los puntos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$, y resulta que:
$f(a)>0$
$f(b)<0$,
el argumento funciona igual en el caso de que los signos de $f(a)$ y $f(b)$ estén cambiados.
La imagen que nos tenemos que hacer es la siguiente:
Dado que la función es continua necesariamente tiene que existir un punto, al menos uno, $c\in [a,b]$ tal que $f(c)=0$.
La cosa no puede ser más simple, en algún momento la gráfica de la función tiene que cortar al eje $X$, y justo ese punto de corte identifica al $c$ que hace que la función valga cero.
Es importante remarcar que podemos asegurar que existe al menos un punto en el que la función se anula, lo que no podemos afirmar es que solo exista uno.
TEOREMA DE BOLZANO
Si $f$ es una función continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ y $f(a)f(b)<0$, existe un punto $c\in (a,b)$ en el cual f(c)=0.
Un vistazo al teorema de Rolle
En este caso vamos a suponer que tenemos una función $f(x)$ que además de ser continua en $[a,b]$ podemos calcular su derivada, es decir, es derivable en el intervalo -- abierto, por cuestiones técnicas -- $(a,b)$.
Imaginemos que encontramos que nuestra función, de la que no sabemos su forma exacta, sabemos que verifica la siguiente condición:
$f(a)=f(b)$,
es decir, que toma el mismo valor en los extremos del intervalo. Dado que la función es continua, se pinta de un solo trazo en dicho intervalo, necesariamente ha tenido que subir y bajar -- o bajar y subir -- para que en los puntos $x=a$ y $x=b$ la función tome el mismo valor. Por lo tanto, es evidente que la función ha pasado por un máximo/mínimo en el trayecto. Podemos concluir que seguro que hay un punto $c\in [a,b]$ que hace que la derivada de la función se anule en dicho punto: $f'(c)=0$.
Si lo pintas lo verás más fácil:
TEOREMA DE ROLLE
Si $f(x)$ es una función continua en el intervalo cerrado $[a,b]$, y derivable en $(a,b)$ y $f(a)=f(b)$, existe un punto $c\in (a,b)$ para el que $f'(c)=0$.
El teorema del valor medio
Otro resultado importante es este teorema que podemos enunciar como:
Si la función $f(x)$ es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$, entonces existe algún punto $c\in [a,b]$ tal que verifica:
$f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
Vamos, que hay un punto de la curva definida por la función cuya tangente tiene la misma pendiente que la recta secante que une los puntos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$.
Este teorema no es más que una versión "inclinada" del teorema de Rolle ;)
Ale, a seguir estudiando...
Hola, soy María Solís del grupo 4 de software. No entiendo la última operación realizada en el valor medio. ¿No debería ser f' (c)=0? ¿Por qué se divide [f(b)-f(a)/b-a]? Gracias de antemano :)
ResponderEliminarVuelvo a escribir porque he tocado donde no debía y he borrado el comentario:)
ResponderEliminarLo que tienes que pensar es que el teorema te dice que una función $f(x)$ -- continua y derivable -- en $[a,b]$ seguro que tiene un punto $c\in[a,b]$ en el que se cumple que la tangente a la curva de la función en el punto $(c,f(c))$ es paralela a la recta que pasa por los punto $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$.
Por lo tanto:
1.- Calcula la pendiente de la tangente a la función en el punto $(c,f(c))$. Esto no es más que la derivada de la función en dicho punto, $f'(c)$.
2.- Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$.
Iguala esas dos cantidades y tendrás el resultado :)
Recuerda que la pendiente de una recta que pasa por dos puntos dados $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ se calcula como:
$\dfrac{y_2 -y_1}{x_2 - x_1}$