El punto fijo

Así a bote pronto, piensa en una función $g(x)$ que en alguno de sus puntos valga exactamente lo mismo que el valor que toma la variable $x$ en ese punto, es decir que

$g(x)=x$,

¿Se te ocurre alguna?

Tic-Tac-Tic-Tac-Tic-Tac...

¿Ya tienes alguna? A ver si te sirven estas:

a) $g(x)=sen(x)$ --  Se verifica que $g(x)=x$ en $x=0$   --  $sen(0)=0$

b) $g(x)=x^2$--  Se verifica que $g(x)=x$ en $x=0$ y $x=1$ --  $0^2=0$,  $1^2=1$

Pues bien, queridos alumnos lectores, un número $x=x^*$ que verifica la ecuación:

$g(x)=x$,  es decir, $g(x^*)=x^*$

se denomina punto fijo de la función.

¿Esto se puede ver de forma geométrica?

La respuesta es, sí.  Estaría feo que pusiera esta pregunta para responder simplemente que no.

El truco está en pensar de la siguiente forma:

1. Nosotros tenemos una por un lado una función $y=g(x)$.
2. Por otro lado podemos definir la función $y=x$.

Podemos dibujar estas dos gráficas, supongamos que $g(x)=cos(x)$.

Lo que nos está diciendo $cos(x)=x$ es que encontremos el punto en el que la función coseno interseca a la recta $y=x$.

El corte, así a ojo, se produce en un valor $x^*=0.73908...$

¿Para qué nos sirve esto si nosotros estamos interesados en encontrar raíces de funciones?

Encontrar raíces de funciones es resolver:  $f(x)=0$.

Y a veces es posible escribir $f(x)=0$ como un problema de punto fijo del tipo $g(x)=x$.  El secreto está en sacar una $x$ de $f(x)$ de algún modo y listo.

Por ejemplo:

Tenemos la función $f(x)=x^4+2x+1$.  Si queremos resolver $f(x)=0$, entonces tenemos:

$x^4+2x+1=0$,

pero de esta expresión podemos despejar una $x$ de una forma muy simple:

$\dfrac{1}{2}(x^4+1)=x$,

y ya tenemos un problema de punto fijo donde $g(x)$ es la función $\dfrac{1}{2}(x^4+1)$.   

Hay otras formas de despejar la $x$ lo que nos daría otras funciones $g(x)$ y otros problemas de de punto fijo.  Es evidente que resolviendo uno de estos estamos resolviendo el problema original $f(x)=0$.  

Atención Importante

Cuando nos dan un problema de encontrar raíces expresado como:

$f(x)=0$

siempre podemos sumar una $x$ en ambos miembros de la ecuación:

$f(x)+x = x$,

llamando $g(x)=f(x)+x$, tendremos un problema de punto fijo tal y como hemos presentado:

$g(x)=x$

Ejemplo

Sea la función  $f(x)=sen(x)-x$, queremos encontrar los ceros o raíces de dicha función:

$f(x)=0$

$sen(x)-x=0$

Para convertir este caso en un problema de punto fijo únicamente tenemos que mover la $x$ del miembro de la izquierda a la derecha:

$sen(x)=x$,

siendo en este caso $g(x)=sen(x)$

Esa es la gracia de los problemas de punto fijo como herramienta para encontrar raíces de funciones. Continuaremos con el método en breve.

Ale, a seguir estudiando...