Raíces de funciones no lineales

En este tema nos vamos a plantear las siguiente preguntas:

¿Para qué puntos x* del dominio de una función se cumple $f(x*)=0$?

Dada una función $f(x)$ definida en un intervalo $[a,b]$, continua y con todas las propiedades guays que queramos, de la que sabemos que tiene al menos una raíz en el mismo, ¿cuándo podemos asegurar que la raíz es única?

Generalmente no podremos obtener las raíces exactas de una función -- al menos no en un número finito de pasos -- así que tenemos que recurrir a métodos aproximados.  Los métodos que vamos a tratar en este curso son tres:

1. Método de la bisección.
2. Método del punto fijo.
3. Método de Newton.

El método de Newton se puede considerar como un caso particular del método del punto fijo.

A efectos prácticos tenéis que tener un buen control del método de la bisección -- epic easy -- y dominar -- nivel Dios -- el método de Newton.

Los métodos que vamos a tratar son métodos iterativos, es decir, se definirán una serie de pasos que nos dará un resultado, una solución aproximada para la raíz de una función, y luego volveremos a repetir dichos pasos una y otra vez hasta que la aproximación cumpla ciertos requisitos que definirán el criterio de parada del método.

En estos métodos vamos a tener claro que: 

1.-  El método ha de ser iniciado -- En ocasiones este paso no es arbitrario sino que el punto inicial que se usa para comenzar el proceso iterativo tiene que cumplir ciertas condiciones.

2.-  Se itera el método hasta llegar a una aproximación satisfactoria -- La satisfacción la obtendremos siempre que se cumpla el criterio de parada, que muy groseramente significa que podemos asegurar que tenemos un número de cifras decimales exactas en nuestra solución.

Cuestiones de simplicidad y multiplicidad

Como hemos comentado, lo que nos vamos a plantear aquí es resolver el siguiente problema:

$f(x)=0$

Queremos encontrar los valores de $x$ que al sustituirlos en la función esta nos escupe un cero.

A dichos valores de $x$ los llamaremos:

-  Raíces de la función.

-  Ceros de la función.

-  Soluciones de la función.

Estoy seguro de que habéis resuelto ecuaciones del tipo:

$ax+b=0$

-- esto no debería de ser ningún problema para nadie --  Esas son las ecuaciones lineales.

Pero podemos tener otro tipo de ecuaciones como por ejemplo:

$a_5 x^5 + a_4 a^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x +a_0 =0$

Para este tipo de ecuaciones, que son polinomios, no existe ningún método de resolución mediante una fórmula si el grado del polinomio es mayor que 4.  Para polinomios de segundo grado todos recordaréis la fórmula esa que decía:  "menos be  más menos la raíz cuadrada de be al cuadrado...".  Eso no existe si el polinomio del que queremos obtener sus ceros tiene un grado mayor que 4, así que hay que recurrir a métodos de aproximación numérica.

Pero podríamos encontrarnos con ecuaciones que no fueran polinómicas, por ejemplo:

$log(1-x)=0$

aquí no nos queda más remedio que remangarnos y buscar aproximaciones a la solución.

Supongamos que tenemos una solución $x^*$ de $f(x)=0$.  Y ahora nos pega por hacer la siguiente locura, calculamos las $n$ primeras derivadas de la función:

$f(x)$

$f'(x)$

$f''(x)$

.

.

.

$f^{(n-1}(x)$

$f^{(n}(x)$

no contentos con ello ahora sustituimos $x^*$ en todas ellas...

$f(x^*)$

$f'(x^*)$

$f''(x^*)$

.

.

.

$f^{(n-1}(x^*)$

$f^{(n}(x^*)$

Pueden pasar varias cosas:

1.-  Que $f(x^*)=0$, que lo es porque $x^*$ es una raíz de la función.  Y que no se anule ninguna derivada.  Entonces diremos que la tenemos una raíz simple.

2.-  O bien, encontramos:  $f(x^*)=f'(x^*)= f''(x^*)=0$  y $f^{(3}(x)\neq 0$.  Entonces diremos que la función tiene multiplicidad 3.

Es decir, si el valor $x^*$ anula la función y hasta la (n-1)-ésima derivada dicha raíz tiene multiplicidad n.

Esta terminología es importante porque los métodos de aproximación a las soluciones de ecuaciones no lineales no funcionan muy bien cuando hay raíces múltiples.  Será importante tener claro si una solución es simple o no.

Ale, a seguir estudiando...