Dos ejemplos de unicidad de la raíz de una función en un intervalo

Vamos a ver dos casos que se pueden presentar en el estudio de la unicidad de la raíz de una función en un intervalo dado.

Ejercicio 1

Sea la función $f(x)=x^2-1$, demuestre que solo tiene una raíz en el intervalo $[\dfrac{1}{2},3]$.

Solución:




Datos:

$ F (x) = x ^ 2-1 $
$ [\dfrac {1} {2}, 3] $

Primero tenemos que verificar que se cumple el teorema de Bolzano en los extremos del intervalo. Para ello calculamos el valor de la función en dichos valores:

$ F (\dfrac {1} {2}) = (\dfrac {1} {2}) ^ 2-1 <0 $
$ F (3) = 3 ^ 2-1> 0 $

Por lo tanto, $f(\dfrac{1}{2})f(3)<0$.  Se cumple el teorema de Bolzano y podemos decir que existe alguna raíz en dicho intervalo.

Para verificar si la raíz es única tenemos que comprobar que la derivada no se anula en ningún punto del intervalo.  La derivada de la función es:

$ F '(x) = 2x $

Resolvemos la siguiente ecuación para ver dónde se anula la derivada:  $2x=0$, la solución es $x=0$. Dado que $0\notin [\dfrac{1}{2},3]$, podemos asegurar que no se anula en ningún punto del intervalo y por lo tanto que la raíz existente es única.

La gráfica de la función es la siguiente:

Ejercicio 2

Considérese la función $f(x)=(5-x)e^x-5$. Se pide:

Demostrar que la ecuación $f(x)=0$ posee una única raíz en el intervalo $[1,5]$.

Solución:

Datos:

$f(x)=(5-x)e^x-5$
$[1,5]$

Comprobamos si se cumple el teorema de Bolzano en los extremos del intervalo:

$f(1)=(5-1)e^1-5>0$
$f(5)=(5-5)e^5-5<0$   por lo tanto,  $f(1)f(5)<0$.  Se cumple el teorema de Bolzano y podemos asegurar que hay al menos una raíz en el intervalo $[1,5]$.

Para saber si la raíz es única tenemos que calcular la derivada de la función:

$f'(x)=-e^x+(5-x)e^x$,

$f'(x)=(4-x)e^x$

Veamos donde se anula la derivada:

$f'(x)=0$ ----->    $(4-x)e^x=0$ ------>  Solución:   $x=4$.

Dado que $4\in[1,5]$  no podemos decir si tenemos una única raíz o varias raíces de la función.  Para ello tenemos que subdividir el intervalo original en dos partes:

a)  $[1,4]$  --->  Comprobamos Bolzano y obtenemos ----->  $f(1)f(4)>0$  No hay raíces.

b)  $[4,5]$  --->  Comprobamos Bolzano y obtenemos ----->  $f(4)f(5)<0$  Sí hay raíces.

Sabemos por tanto que las raíces de la función $f(x)$ en el intervalo $[1,5]$ estarán todas en el subintervalo $[4,5]$.

Ahora tenemos que ver si la derivada se anula en algún punto del intervalo que contiene a la raíz o raíces, el $[4,5]$.

Dado que la derivada solo se anula en $x=4$, para salvaguardarnos de ese caso --aunque en los extremos la cosa no es muy dramática -- trabajaremos con el intervalo $[4.1,5]$.

La derivada en dicho punto es negativa:  $f'(4.1)=(4-4.1)e{4.1}<0$, por lo tanto la función decrece en esa parte del intervalo, no se anula en ninguno de sus puntos y podemos concluir que solo hay una raíz.  Eso se extiende al resto del intervalo y podemos afirmar sin ninguna duda que la función solo tiene una raíz en el $[1,5]$.

La gráfica:

Sigan practicando...