Unicidad de la raíz

Como vimos en la anterior entrega, el teorema de Bolzano nos da la condición para que una determinada función tenga raíces en un determinado intervalo.  Pero, generalmente es bueno poder asegurar que en el intervalo de trabajo solo hay una raíz.

¿Por qué?  Pues principalmente porque vamos a trabajar con métodos de búsqueda de soluciones aproximadas para funciones definidas en intervalos.  Si no podemos asegurar que solo hay una raíz en el intervalo de partida, el método puede volverse loco yendo de una posible solución a otra y estropeando todo el proceso sin que obtengamos una respuesta satisfactoria.  Así pues, sería muy bueno tener algún criterio para decidir cuándo tenemos una única raíz en un intervalo.

Afortunadamente los amigos Bolzano y Rolle colaboran en esta tarea.

Supongamos que tenemos una función $f(x)$, con todas las propiedades chachis que necesitemos como continuidad y derivabilidad,  y la estudiamos en el intervalo $[a,b]$.  Después de un concienzudo examen llegamos a dos conclusiones:

1. $f(a)f(b)<0$, y por lo tanto, pueden existir raíces en el intervalo.
2. Su derivada no se anula en ningún punto del intervalo, el abierto por cuestiones de quisquillosismo matemático $(a,b)$,  

$f'(x)\neq 0$ en todo $(a,b)$.

Entonces podemos asegurar que no hay más que una raíz en el intervalo.

La razón de esto viene de una combinación de los resultados del amigo Bolzano y Rolle.

Suponamos ahora, haciendo uso de nuestra portentosa imaginación, que existen dos raíces $c_1$ y $c_2$ en el intervalo $[a,b]$, porque nosotros lo valemos.  Entonces, se cumple que $f(c_1)=f(c_2)=0$. Pero entonces, según el teorema de Rolle, tiene que existir un punto $c_3\in(c_1,c_2)$ que haga que la derivada se anule, $f'(c_3)=0$:

Hemos llegado a una contradicción ya que habíamos descubierto que en ningún interior del intervalo la derivada se anulaba. 

Cuestiones a tener en cuenta

Cuando nos enfrentemos a este tipo de cuestiones, a calcular raíces aproximadas de funciones, tenemos que asegurarnos que en el intervalo de trabajo solo hay una raíz. Para ello, estudiaremos el comportamiento de la derivada en el interior de dicho intervalo y en el caso de de encontrar que se anula en algún punto tendremos que redefinir el intervalo inicial del problema.   Esto lo veremos en los problemas con mayor detenimiento.

Ale, a seguir estudiando...