Raíz cuadrada de 3 con 14 cifras decimales exactas

Ejercicio:

Intente calcular de forma aproximada $\sqrt{3}$ usando las técnicas de punto fijo.




Solución:

Si yo lo que quiero calcular es cuanto vale la raíz cuadrada de tres me puedo plantear el problema de la siguiente forma:

¿Qué número elevado al cuadrado me da tres?

La respuesta es obvia, el número que al elevarlo al cuadrado me da tres es la raíz cuadrada de tres. Pero ahora lo que nos estamos planteando es resolver esta ecuación:

$x^2=3$

Esto se puede poner como un problema de encontrar ceros de una función $f(x)=x^2-3$.  Y lo podemos transformar en un problema de punto fijo siguiendo estos pasos:

1.-   Partimos de la función $f(x)=x^2-3$ y la igualamos a 0:    $x^2-3=0$, eso equivale a $x^2=3$.

2.-   Sumamos $x$ en ambos miembros de la ecuación:     $x^2+x=3+x$

3.-   En el miembro de la izquierda sacamos factor común $x$:    $x(x+1)=x+3$.

4.-   Despejamos la $x$ y nos queda:

$x=\dfrac{x+3}{x+1}$

Ahora tenemos un problema de punto fijo, $x=g(x)$, en el que la función $g(x)=\dfrac{x+3}{x+1}$.

La gráfica de esta función es -- la línea roja es la recta $y=x$ --:

Ahora bien, ¿en qué intervalo tenemos que trabajar?

Bueno, esto puede parecer de idea feliz, la cuestión es que la raíz cuadrada de tres será un número mayor que 1 y menor que 2.  Así que para empezar vamos a imponer el intervalo $[1,2]$ a ver qué pasa.

Entonces la gráfica la podemos centrar un poco más:

Como sabemos por el teorema del punto fijo tenemos que tener la función en una caja de lado $[1,2]$.

Para ver eso vamos a calcular los valores de la función en $x=1$ y $x=2$:

$g(1)=\dfrac{4}{2}=2$

$g(2)=\dfrac{5}{3}\approx 1.6666...$, 

Ahora tenemos que calcular la derivada y ver como se comporta la función en ese intervalo:

$g'(x)=\dfrac{(1)(1+x)-(3+x)(1)}{(x+1)^2}$

$g'(x)=-\dfrac{2}{(1+x)^2}$

esta derivada es siempre negativa lo que quiere decir que la función es decreciente, por lo tanto la imagen de la función para los puntos $x\in [1,2]$ está en el intervalo $[\dfrac{5}{3},2]$ y claramente se cumple que:

$[\dfrac{5}{3},2]\subset [1,2]$

con lo que tenemos parte del teorema comprobado.  Todo esto se puede ver de forma gráfica:

Ahora nos centramos en la derivada, para lo cual tenemos que tomar su valor absoluto:

$|g'(x)|=|\dfrac{-2}{(x+1)^2}|=\dfrac{2}{(x+1)^2}$

Como estamos trabajando en el intervalo $[1,2]$, vamos a calcular la derivada y tomar su valor absoluto en los puntos extremos:

$|g'(1)|=\dfrac{2}{2^2}$

$|g'(2)|=\dfrac{2}{3^2}$,

claramente  $|g'(1)|>|g'(2)|$ y por tanto $|g'(1)|>|g'(x)|$  $\forall x\in [1,2]$.

Por lo tanto, 

$|g'(x)|\leq\dfrac{2}{2^2}=\dfrac{1}{2}<1$

con lo que verificamos la otra parte del teorema, así que existe un único punto fijo y el método lo puede encontrar, converge al mismo.

Así pues podéis empezar el método con $x_0=1$ y hacer unas cuantas iteraciones.  

Si se quieren obtener 14 cifras decimales exactas habría que llegar hasta la iteración número 26.

El error comentido en la iteración n-ésima se calcula con la siguiente fórmula:

$\epsilon_n<\dfrac{|f(x_n)|}{\displaystyle\min_{x\in [1,2]}|f'(x)|}$

En esta fórmula nos referimos a $f(x)=x^2-3$ Y NO A $g(x)$. Ojo, cuidao...

La única dificultad estriba en el denominador de la parte de la derecha:

$\displaystyle\min_{x\in [1,2]}|f'(x)$  --->>  

Lo único que hay que hacer es evaluar la derivada de la función $f(x)$:

$f'(x)=2x$

de la que sabemos que es positiva y distinta de cero en todos los puntos del intervalo $[1,2]$ y por tanto calculamos el valor en los extremos y nos quedamos con el más pequeño en valor absoluto, evidentemente ese será, en este caso, $|f'(1)|=2$.

Por tanto la forma del error queda:

$\epsilon_{26}<\dfrac{x_{26}^2-3}{2}$

El proceso de iteración nos dice que $x_{26}=1.7320580756888$, sustituyendo este valor en la fórmula anterior obtendremos:

$\epsilon_{26}<4.884981...\times 10^{-15}<10^{-14}$

Así podemos concluir diciendo que este procedimiento nos ha llevado a calcular la raíz cuadrada de tres con catorce cifras decimales exactas siendo el resultado:

$\sqrt{3}=1.7320580756888$

Sigan practicando...