Newton calculando la raíz cuadrada de tres

Vamos a aproximar la raíz cuadrada de tres por el método de Newton.

Solución:

Tenemos que calcular los ceros de la función $f(x)=x^2-3$.

Introducimos el intervalo de trabajo, $[1,2]$ ya que sabemos que la raíz cuadrada de 3 se tiene que encontrar entre esos dos valores.

Primero, comprobamos que se cumple el teorema de Bolzano:

$f(1)=-2<0$
$f(2)=1>0$




Así vemos que se cumple que $f(1)f(2)<0$.  Ya sabemos que hay raíces, una o varias, en ese intervalo para esa función.

Segundo, estudiamos la derivada en ese intervalo:

$f'(x)=2x$

Vemos que la derivada solo se anularía para el valor $x=0$ que está fuera de nuestro intervalo, por lo tanto se cumple que $f'(x)\neq 0$ en todo punto de $[1,2]$.  Así pues podemos asegurar que la raíz es única.

Evaluemos la derivada en los extremos del intervalo:

$f'(1)=2$
$f'(2)=4$  

por tanto el mínimo valor que toma la derivada en dicho intervalo, -- en valor absoluto --, es $|f'(1)|=2$.

Tercero, calculamos la segunda derivada:

$f''(x)=2$

Esta segunda derivada no se anula en ningún punto del intervalo $[1,2]$.

Cuarto, vemos el signo que tiene $f(x_0)f''(x_0)$ en los extremos del intervalo.

$f(1)f''(1)<0$
$f(2)f''(2)>0$

Solo en el extremo $x=2$ del intervalo la función y la segunda derivada tienen el mismo signo, por lo tanto elegimos como punto inicial del método  $x_0=2$.

Quinto, aplicamos el método:

$x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Y el error cometido en cada iteración:

$\epsilon_n<\dfrac{|f(x_n)|}{\displaystyle\min_{x\in[1,2]}|f'(x)|}$

Comprueben que basta con 4 iteraciones para llegar a tener 14 cifras decimales exactas.