Construyendo a Newton

Vamos a presentar el método de aproximación de Newton, --o Newton-Raphson para quedar bien con todo el mundo--.  Lo que vamos a tratar en este punto es la interpretación y definición del método y posteriormente nos introduciremos en los vericuetos del mismo.

El esquema que vamos a seguir es el siguiente:

1.-  Definición y justificación del método.
2.-  El método en sí mismo.
3.-  Elección del punto inicial.
4.-  Error y convergencia.
5.-  Comparación con el método de punto fijo.

Recta tangente a una curva

Como paso inicial vamos a repasar como se calcula la recta tangente a una curva en uno de sus puntos.  

Cuando tenemos una función $f(x)$ podemos graficarla en el plano siendo cada uno de los puntos de la gráfica de la forma $(x,f(x))$, es decir, el par ordenado que tiene como primer elemento los valores que va tomando la variable $x$ y como segundo elemento los valores que devuelve la función al introducir dichos valores.

Supongamos que tenemos esta gráfica de la función $f(x)$:

Para ser precisos estamos graficando la función  $f(x)=x^2-1$ en el intervalo $[0,3]$

Como observamos en la figura existe una única raíz de la función en dicho intervalo -- la función cumple el teorema de Bolzano y la derivada no se anula en ninguno de los puntos interiores del mismo --.

Ahora calculemos la recta tangente que pasa por el punto $x=a(=2)$:

Para ello tenemos que tener en cuenta que:

a)  La recta tangente tiene que tocar el punto  $(a,f(a))$, en nuestro caso dicho punto es $(2,3)$.

b)  La pendiente de la recta tangente a un punto de una curva viene dada por el valor de la primera derivada evaluada en dicho punto $x=a$.  

Para nuestra función $f(x)=x^2-1$, la derivada es:

$f'(x)=2x$

Como ya habíamos visto dicha derivada no se anula en ninguno de los puntos interiores del intervalo $[0,3]$ -- se anula en cero, pero este es un extremo del intervalo así que pasamos de él para estos menesteres --.

Tenemos que calcular el valor de la derivada en $x=a$ que en nuestro caso es $x=2$:

$f'(a)$, que en nuestro caso es $f'(2)=4$

Por lo tanto la recta tangente a la curva en $x=a$ tiene una pendiente de $f'(a)$.  Que en nuestro ejemplo es $f'(2)=4$.

c)  Una vez conseguida la pendiente tenemos que asegurarnos de que la recta que definamos sea tangente a la curva, es decir, que cuando sustituyamos en la ecuación de la recta $x=a (=2)$, la recta valga $f(a)(=f(2)=3)$, es decir que la recta y la curva solo comparten el punto $(a,f(a))$ que en el ejemplo es $(2,3)$.

Para llegar a este resultado vamos a forzar a que la recta pase por $f(a)$:

$y=f(a)+algo$

Ese algo de ahí tiene que contener el valor de la pendiente $f'(a)$:

$y=f(a)+f'(a)\times algo$

Lo que queremos ahora es que cuando $x=a$, $y=f(a)$, por lo tanto el término que va multiplicado por la derivada tiene que tener la dependencia en $x$ y se tiene que anular cuando $x=a$.  No hay muchas opciones, solo podemos poner un término $(x-a)$:

$y=f(a)+f'(a)(x-a)$

Por lo tanto, la recta tangente a la curva $f(x)=x^2-1$ en el punto $x=2$ tendrá la forma:

$y=f(2)+f'(2)(x-2)$

$y=3+4(x-2)$

Pues ya tenemos la recta tangente a la curva en $x=a$ bien controlada.

$y=f(a)+f'(a)(x-a)$

Abusando de la tangente

Lo que estamos buscando es la raíz de la función pero hasta ahora solo hemos encontrado la tangente a la curva en un punto dado. ¿Para qué queremos esto?

Mira qué pasa si dibujamos la recta tangente de forma un poco más generosa:

Resulta que la recta tangente corta al eje de las $X$ en un punto que podemos considerar una aproximación a la raíz de la función $f(x)$.  

Para encontrar ese punto solo tenemos que imponer que la recta corte a dicho eje, es decir, que $y=0$, por lo tanto la ecuación a resolver será:

$0=f(a)+f'(a)(x-a)$

Entonces, encontraremos un valor $x=b$ que cumpla esa ecuación, el punto de corte entre la recta tangente que hemos calculado y el eje de las $X$.

En nuestro ejemplo:

1.-  La función es $f(x)=x^2-1$.

2.-  La recta tangente es:  $y= 3+4(x-2)$.

3.-  El punto de corte con el eje $X$ se produce para $x=\dfrac{5}{4}$.

Si queremos ser un poco más precisos, podemos volver a repetir todo el proceso a partir del nuevo punto $x=b$ que hemos dado como aproximación a la raíz.  Para ello tendríamos que encontrar la recta tangente en $(b,f(b))$ y ver donde corta con el eje $X$.   De manera gráfica lo que obtendríamos sería:

Podemos ver como el punto de corte con la nueva recta tangente ya está muy próximo a la raíz de la función, por lo tanto es una magnífica aproximación. 

La esencia del método de Newton

Esto que acabamos de describir es el núcleo del método de Newton.  Lo que hacemos en cada paso es considerar que la recta tangente a la curva de la función en cada punto es una buena aproximación a la función.  Los puntos de corte de la recta tangente con el eje $X$ serán las aproximaciones a la raíz de la función.

Podemos hacer un proceso iterativo basado en esta idea:

Supongamos que partimos de un $x_0$, que será el primer punto donde calculemos la tangente a la curva de una función $f(x)$:

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Calculamos donde corta esa recta tangente al eje $X$ y encontramos que lo hace en un $x=x_1$, entonces se cuplirá:

$0=f(x_0)+f'(x_0)(x_1-x_0)$

Esto lo podemos arreglar un poco para tener un método directo para saber el valor de $x_1$ a partir de los datos que dependen de $x_0$:

1.-  Cambiamos de miembro $f(x_0)$:

$-f(x_0)=f'(x_0)(x_1-x_0)$

2.-  Pasamos $f'(x_0)$ al otro miembro:

$-\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}=x_1-x_0$

3.-  Despejamos $x_1$:

$x_1=x_0-\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$

Este proceso lo podemos repetir una y otra vez, -- que equivale a ir calculando rectas tangentes en cada nuevo punto y buscando sus puntos de corte --, por lo tanto podemos escribir:

$x_n=x_{n-1}-\dfrac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}$

Así acabamos de construir el procedimiento iterativo de Newton basándonos en aproximar funciones por sus tangentes en cada paso del proceso.

Ale, a seguir estudiando...