Mete la función en una caja y que no crezca o decrezca demasiado. Punto fijo strikes back

Nos vamos a encontrar con la parte oscura de la matemática, un teoremita que nos va a dar condiciones, con matices, sobre cuándo una función tiene punto fijo y si podemos llegar a él aplicando el método iterado en un número finito de pasos.

Es justo que nos paremos a diseccionar el teorema, al fin y al cabo, para eso estamos aquí.

TEOREMA DEL PUNTO FIJO

Sea $g(x)$ una función continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$, con $g([a,b])\subseteq [a,b]$ y tal que $|g'(x)|\leq q < 1$, y sea $x_0$ un punto cualquiera del intervalo $[a,b]$.  La sucesión

$x_0$, $x_1$, $x_2$,...,$x_n$,... con $x_{n+1}=g(x_n)$

converge al único punto fijo de $g(x)$ en $[a,b]$.

Disección del teorema 

1.-  Condiciones suficientes:

Este teorema nos da las condiciones suficientes para la existencia y unicidad de un punto fijo de la función $g(x)$ en el intervalo $[a,b]$ y que el método converge a dicho punto.  Pero estas condiciones NO SON NECESARIAS para tener dicha existencia.

¿lo qué...?

El tema de suficiente y necesario siempre da quebraderos de cabeza, pero a nadie se le escapa que la siguiente afirmación es incorrecta:

Si el suelo de la calle está mojado es que ha llovido

¿Qué sabemos?   Que el suelo está mojado.

¿Es necesario que haya llovido?  No, el suelo de la calle puede estar mojado por muchos y variados motivos.

¿Es suficiente que haya llovido?  Sí, si hay llovido entonces seguro que el suelo de la calle está mojado.

En nuestro caso, lo que establece el teorema son condiciones suficientes para que la conclusión sea válida, es decir, para que el punto fijo sea único y el método converja.  Pero podemos tener situaciones en las que no se verifican las condiciones y aún así tener un único punto fijo en el intervalo y que el método converja.

Para hacernos un esquema mental, muy bueno para no liarla parda en esos días...

Encontramos una función $g(x)$ que cumple el teorema ---->>  Existe un único punto fijo en el intervalo y el método converge.

Encontramos una función $g(x)$ que no cumple las condiciones del teorema ---->> Entonces pude haber un único punto fijo o no haberlo, idem con la convergencia.

2.-  La función tiene que estar metida en una caja

Esto hace referencia a esta parte del teorema:

Sea $g(x)$ una función continua en $[a,b]$, derivable en $(a,b)$, con $g([a,b])\subseteq [a,b]$

Nosotros vamos a graficar nuestra función $g(x)$ en el intervalo $[a,b]$ que está en el eje de las $X$. Como estamos que lo tiramos vamos a dibujar el mismo intervalo en el eje de las $Y$.  Eso formará una caja rectangular:

Lo que quiere decir la condición del teorema es que la gráfica de la función en el intervalo $[a,b]$ tiene que estar contenida en esa caja, es decir, la imagen de cada punto de $[a,b]$ en el eje $X$ por la función $g(x)$ tiene que estar en un subintervalo del intervalo $[a,b]$ en el eje $Y$.

Esta condición es importante porque nos asegura que para ir de un extremo al otro de la curva, función $g(x)$, necesariamente tenemos que cortar en algún punto -- no necesariamente único por ahora -- la recta $y=x$

3.-  La función es de Lipschitz y contractiva

Con eso ya debería de estar todo dicho, pero por si acaso diremos:

Una función es contractiva en un intervalo si cumple que el valor absoluto de su derivada es menor que uno para todo punto del intervalo.  Vamos, que cumple esta condición:

$|g'(x)|\leq q < 1$

Esta condición esconde el secreto de la convergencia, hay que exigir que $q$ sea menor que 1 para que el método nos asegure la convergencia en el caso de verificarse el teorema.

Calculemos cuanto vale la diferencia entre un paso del método iterativo y el siguiente, por ejemplo entre el paso $n$ y el paso $n+1$:

$x_{n+1}-x_n$

Como sabemos que los sucesivos puntos se calculan siguiendo la regla:  $x_{n}=g(x_{n-1})$, la expresión anterior será igual a:

$x_{n+1}-x_n=g(x_n)-g(x_{n-1})$

Pero por el teorema del valor medio sabemos que la diferencia de los valores de una función continua y derivable en el intervalo de trabajo se puede escribir como:

$g(x_n)-g(x_{n-1})=(x_n-x_{n-1})g'(c)$

donde $c\in [a,b]$.

Entonces podemos escribir:

$|x_{n+1}-x_n|=|x_n-x_{n-1}| |g'(c)|$

Pero, el teorema nos dice que $|g'(c)|\leq q$, por lo tanto:

$|x_{n+1}-x_n| \leq q |x_n - x_{n-1}|$

Así podemos definir:

1.-  El error cometido en el primer paso es $\epsilon_1=|x_1-x_0|$.

2.-  El error cometido en el segundo paso es $\epsilon_2=|x_2-x_1|$.  Pero como hemos visto eso se puede escribir como:   $\epsilon_2=|x_2-x_1|\leq q |x_1-x_0|=q\epsilon_0$.

3.-  El error cometido en el tercer paso es $\epsilon_3=|x_3-x_2|$.  Que se podrá escribir -- trata de hacerlo -- como:  $\epsilon_3=|x_3-x_2|\leq q^2\epsilon_0$.

4.-  Si nos vamos al paso n-ésimo:  

$\epsilon_n\leq q^n\epsilon_1$

Dado que q es un número entre cero y uno, su potencia n-ésima será un número muy pequeño. En el límite de infinitas iteraciones el error tiende a cero, por lo tanto el proceso converge a un valor concreto, el punto fijo de la función $g(x)$.

Por cierto, este es el señor Lipschitz:

Y ya está bien por ahora... Nos quedan un par de detalles sobre cálculo de error en el método y el número de iteraciones que hay que realizar para conseguir un resultado con un número de cifras decimales requerido.

Ale, a seguir estudiando...