Interpolación

En muchos casos que se presentan en la vida diaria se nos presentan datos en forma de tabla.  Estos datos han sido obtenidos en experimentos o muestreos.

De la tabla podemos leer puntos de la forma $(x_i, y_i)$, siendo el punto $(x_0,y_0)=(0.2,0.32)$, o el punto $(x_2,y_2)=(0.4,0.34)$.

Una representación gráfica de estos puntos será:

Lo que sabemos es que los datos correspondientes a la columna de las $x$ determinan los valores de la columna de las $y$.  Sin embargo, no conocemos que función da cuenta de esos datos, es decir, no conocemos la forma $f(x)$ de forma que para los valores de $x$ de la tabla obtengamos los valores de la columna de las $y$.

El objeto de estudio de este tema se centrará en encontrar una función $f(x)$ que acomode estos datos.  Si la encontramos podremos estimar el valor $y$ de cualquier $x$ que esté entre los datos de la tabla.  En el caso que hemos presentado podríamos estimar el valor de  la $y$ que correspondiera a un valor de $x=0.337$, por poner un ejemplo.

Esto que nos ocupa se denomina interpolación que es un campo rico y variado de la matemática cuya utilidad es evidente.  Nosotros estudiaremos como construir una función polinómica que acomode los datos de una tabla dada.

Antes de entrar en harina tenemos que enfrentarnos al primer teorema de esta temática.

Polinomio Interpolador. El Teorema

Teorema:

Dados $n+1$ puntos, $(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)$, con $x_i\neq x_j$ si $i\neq j$; existe un único polinomio interpolante $P_k(x)$ de grado $k\leq n$, tal que $P_k(x_i)=y_i$  $\forall i=0,\dots,n$. 

Masticando el teorema:

1.-  Disponemos de un conjunto de $n+1$ puntos:

$(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)$

Suponemos que estos puntos satisfacen la regla impuesta por una función $f(x)$ que es desconocida.

2.-  Lo que hacemos es suponer que dicha función es un polinomio $f(x)=P_k(x)$, es decir, una función de la forma:

$P_k(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^k$,

donde las $a_i$ son coeficientes numéricos reales y los exponentes $k$ son números naturales. Algunos de estos coeficientes o exponentes pueden ser nulos.

De forma que se tiene que cumplir:

$P_k(x_i)=y_i$ para todos los valores de $x_i$ de la tabla.

Es bueno trabajar con polinomios por varias razones, son funciones continuas, son derivables, y tienen todas las propiedades molonas que nos gustan de las funciones. Además, sus derivadas e integrales se calculan con relativa facilidad.

3.-  El orden del polinomio $k$ nunca será superior $n$.  Eso quiere decir que si tenemos $4$ puntos el polinomio interpolador será a lo sumo de grado 3.  Pero puede ocurrir que estos puntos estén sobre una recta o una parábola y entonces el polinomio será de grado menor que 3.

4.-  Es muy importante remarcar que el teorema establece que el polinomio interpolador es único. Esto implica que podremos diseñar distintos métodos para calcularlo pero que siempre obtendremos el mismo resultado para un conjunto dado de puntos.  El uso de uno u otro método dependerá de las condiciones del problema como iremos viendo a lo largo del tema.

Nota:  Los puntos no tienen porque estar equiespaciados ni ordenados de ningún modo especial para que los métodos de cálculo del polinomio interpolador funcionen.