Newton también interpola

Vamos con el segundo método, y último que vamos a estudiar en este curso, de interpolación.  Este método es debido al inefable y prolífico Newton, un campeón de la ciencia.

Pues nada, procedamos...

Fundamento del proceso interpolador de Newton

Como ya somos grandes vamos a usar notación matemática y tal, así cuando venga alguien de fuera a leer el blog se llevará un susto ;). Ea, pues...

Dado un soporte $S=\{a=x_0<x_1<x_2<\dots< x_n=b\}$ -- vamos que el soporte tiene los número ordenaditos de menor a mayor -- y una función $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ -- o lo que es lo mismo que cuando sustituimos la $x$ de la función por un número real comprendido entre $a$ y $b$ el resultado es un número real --, cuya tabla de valores viene dada por:

El polinomio interpolador de la función $f$ en el soporte $S$ es de la forma, 

$P_n(x)=c_0 + c_1 (x-x_0)+c_2 (x-x_0) (x-x_1)+c_3 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2)+\dots +$

$+c_n (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2)\dots (x-x_{n-1})$

Los coeficientes del polinomio dependen del soporte y de sus imágenes.

Bueno, pues una vez dicho esto matemáticamente lo que nos interesa saber respecto al método de interpolación de Newton es lo siguiente:

Tenemos que aprender a calcular los coeficientes del polinomio a partir de los datos de la tabla.  Hay varias formas de hacer esto pero nosotros solo vamos a ver la conocida como método de las diferencias divididas.

Método de las diferencias divididas

Algunas definiciones

Para empezar a trabajar con este método primero tenemos que definir unas cuantas cosas de notación.  Lo primero será que los valores de $y_i$ los denotaremos así:

1.-  $y_i=f[x_i]$ con $0\leq i \leq n$

2.- $f[x_0,x_1,\dots,x_k]=\dfrac{f[x_1,x_2,\dots,x_k]-f[x_0,x_1,\dots,x_{k-1}]}{x_k - x_0}$. 

A estos objetos se les denominan, diferencias divididas de orden $k$.

Como será evidente en un momento, estos objetos se construyen a partir del conocimiento de los previos.  Para calcular las diferencias divididas de orden 3 tenemos que tener las diferencias divididas de orden 2, etc.

Lo interesante de estas diferencias divididas es que los coeficientes del polinomio interpolador son justamente las siguientes diferencias:

$c_0 = f[x_0]$

$c_1=f[x_0,x_1]$

$c_2=f[x_0,x_1,x_2]$

.

.

.

$c_k=f[x_0,x_1,x_2,\dots,x_k]$

¿Cómo calculamos los coeficientes?

Pues vamos a tener que ir calculando todas las diferencias divididas paso a paso y finalmente tomar las que nos interesen.  Lo mejor es ir haciendo una tabla para un caso genérico de cuatro puntos en el soporte y sus respectivas imágenes:

Ahora construiremos la tabla de diferencias divididas:

  

Pues eso es todo, una vez calculada esa tabla basta con encontrar los coeficientes, que si os dais cuenta están en la diagonal que empieza en el $y_0=f[x_0]$.  

Ejemplo concreto

Sea un conjunto de puntos $\{(1,0),(3,1),(4,-1),(5,2)\}$.  Encuentre el polinomio interpolador usando el método de Newton.

Pistas:

Comienza haciendo la tabla de diferencias divididas.  Para ello tendrás que entender muy bien está definición:

$f[x_0,x_1,\dots,x_k]=\dfrac{f[x_1,x_2,\dots,x_k]-f[x_0,x_1,\dots,x_{k-1}]}{x_k - x_0}$

Si todo va bien, el polinomio que tienes que obtener es:

$P_3(x)=\dfrac{1}{6}(5x^3-45x^2+118x-78)$

¿Cómo harías para incorporar el nuevo punto $(7,3)$? ¿Tendrías que rehacer todos los cálculos? ¿Por qué?

Bueno, con esto terminamos interpolación, los problemas propuestos serán resueltos y publicados en breve pero antes tenéis que intentarlo vosotros.

Ale, a seguir estudiando