Interpolando con Lagrange

Vamos a introducir el primer método de interpolación, la interpolación de Lagrange.

¿Qué tenemos que saber del método?

1.-  Tenemos que saber cómo funciona el método y cómo calcula el polinomio interpolador para un conjunto dado de puntos.
2.-  Tenemos que conocer las características esenciales del método.  Esto será muy útil para elegir este método u otro dependiendo del problema que nos propongan.

Así que sin más dilación nos pondremos manos a la obra.

El método de Lagrange

Problema a resolver:

Dado un conjunto de datos de la forma $(x_i,y_i)$ encontrar el polinomio que pasa por todos ellos.

Nomenclatura:

El conjunto de puntos $(x_i,y_i)$ proporciona los datos iniciales del problema.  A los valores $x_i$ se les denomina el soporte.  Si los puntos del soporte están equiespaciados lo denominaremos soporte regular.  Si el soporte es de la forma $0,1,2,3,\dots$, se denomina soporte canónico.

Y supondremos que existe la relación:

$y_i=f(x_i),$

evidentemente, la función $f(x)=y$ es desconocida o demasiado complicada y, por lo tanto, nosotros vamos a suponer que tiene forma polinómica.  Los $y_i$ se denominarán imágenes del soporte.

Método

Partimos de una tabla:

Por ejemplo, el siguiente caso:

Que gráficamente luce tal que así:

Para trabajar con el método de Lagrange vamos a olvidarnos por un momento de las imágenes del soporte, es decir, los datos $y_i$ vamos a dejarlos de lado por un rato.

Trabajaremos con el soporte:

Ahora, la magnífica idea de Lagrange consiste en construir un polinomio $L_k(x)$ de forma que cumpla lo siguiente:

a)   $L_k(x_k)=1$

b    $L_k(x_i)=0$  para todo valor $x_i$ que cumpla $i\neq k$

En nuestro ejemplo podremos construir los polinomios:

$L_0(x)$

$L_1(x)$

$L_2(x)$

$L_3(x)$

Haremos solo uno explícitamente aquí, los restantes son exactamente iguales y solo daré el resultado.

Para construir $L_0(x)$ seguiremos el siguiente procedimiento:

1.-   Dado que queremos que se cumpla que $L_0(x_i)=0$ para todos los valores $x_i$ con $i\neq k$ $L_0(x)$ tendrá que tener una estructura de fracción en el que el numerador se anule para esos valores, la única opción es:

$L_0(x)=\dfrac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{ALGO}$

Con esta definición, siempre que el denominador esté bien definido y no se anule, se verificará:

$L_0(x_1)=L_0(x_2)=L_0(x_3)=0$

2.-  Ahora queremos que cuando sustituyamos $x_0$ en $L_0(x)$ obtengamos, $L_0(x_0)=1$.  Para ello vamos a trabajar el denominador y lo construiremos de la siguiente forma:

$L_0(x)=\dfrac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}$

Tiene que resultar evidente que 

$L_0(x_0)=1=\dfrac{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}$

En nuestro ejemplo, el primer polinomio -- auxiliar -- de Lagrange es:

                                       $L_0(x)=\dfrac{(x-2)(x-3)(x-4)}{(1-2)(1-3)(1-4)}$

Siguiendo este esquema podemos tener la forma de todos los polinomios que podemos construir para cada elemento del soporte, en este caso:

$L_0(x)$

$L_1(x)$

$L_2(x)$

$L_3(x)$

Ahora bien, estos polinomios no pasan por los puntos que deberían, ya que asignan el valor 1 a cada punto del soporte debido al procedimiento de construcción.  Veámoslo gráficamente, hemos asignado los siguientes colores:

$L_0(x)$ --  azul

$L_1(x)$ --  naranja

$L_2(x)$ --  verde

$L_3(x)$ --  violeta

Observamos que cada polinomio asigna el valor $L_k(x_k)=1$ y es cero en todos los demás puntos del soporte.

¿Cómo podemos hacer que pase por la $y_i$ que corresponde a cada valor de $x_i$ en la tabla? 

Muy fácil, multiplicando cada polinomio -- auxiliar -- de Lagrange por el valor $y_i$ que le corresponda.  Si luego sumamos todos los polinomios obtendremos:

$P_n(x)=y_0\cdot L_0(x)+y_1 \cdot L_1(x) + y_2 \cdot L_2(x)+ y_3\cdot L_3(x)$

En nuestro ejemplo dicho polinomio es:

                               $P_3(x)=-\dfrac{7}{3}x^3+16x^2-\dfrac{98}{3}x+19$

Ahora supongamos que el que nos ha propuesto el problema nos viene con que se ha equivocado de tabla, y que la columna de las $y_i$ era incorrecta y que la tabla verdadera es la siguiente:

¿Le ves algún problema a calcular el polinomio interpolador de Lagrange en menos de 10 segundos? ¿Por qué? ---->> NO SON PREGUNTAS RETORICAS; ESPERO RESPUESTAS DE VERDAD.

Concluyendo, así se calcula el polinomio interpolador de Lagrange. Ah, se me olvidaba, os tengo que dar las fórmulas del tema este del Lagrange, pues ahí van:

$L_k(x)=\prod_{i=0}^n \dfrac{x-x_i}{x_k - x_i}$  para $i\neq k$

$P_n(x)=\sum_{k=0}^n y_k L_k(x)$

Ale, a seguir estudiando...